Annen Ordens Moving Average Filteret

Eksponentielt filter Denne siden beskriver eksponensiell filtrering, det enkleste og mest populære filteret. Dette er en del av avsnittet Filtrering som er en del av En veiledning til feilsøking og diagnose. Oversikt, tidskonstant og analoge ekvivalenter Det enkleste filteret er eksponensielt filter. Den har bare en innstillingsparameter (annet enn prøveintervallet). Det krever lagring av bare én variabel - den forrige utgangen. Det er et IIR (autoregressivt) filter - virkningene av en inngangsendring forfall eksponentielt inntil grensene for skjermer eller dataregning skjuler det. I ulike discipliner benyttes også dette filteret som 8220exponential smoothing8221. I noen disipliner som investeringsanalyse kalles eksponentielt filter en 8220Exponentielt vektet Flytende Gjennomsnitt8221 (EWMA), eller bare 8220Exponential Moving Average8221 (EMA). Dette misbruker den tradisjonelle ARMA 8220moving average8221 terminologien av tidsserieanalyse, siden det ikke er noen inntastingshistorikk som brukes - bare gjeldende inngang. Det er den diskrete tidsekvivalenten til 8220 første orden lag8221 som vanligvis brukes i analog modellering av kontinuerlig kontrollsystemer. I elektriske kretser er et RC-filter (filter med en motstand og en kondensator) en førsteordringsforsinkelse. Når man understreker analogien til analoge kretser, er single tuning parameteren 8220time constant8221, vanligvis skrevet som små bokstaver gresk bokstav Tau (). Faktisk stemmer verdiene på de diskrete prøvetidene nøyaktig overens med ekvivalent kontinuerlig tidsforsinkelse med samme tidskonstant. Forholdet mellom digital implementering og tidskonstanten er vist i ligningene under. Eksponentielle filterligninger og initialisering Det eksponensielle filteret er en vektet kombinasjon av det forrige estimatet (utgang) med de nyeste inntastingsdataene, med summen av vektene lik 1 slik at utgangen stemmer overens med inngangen ved steady state. Følgende filternotasjon er allerede innført: y (k) ay (k-1) (1-a) x (k) hvor x (k) er den råinngangen på tidspunktet trinn ky (k) er den filtrerte utgangen på tidspunktet trinn ka er en konstant mellom 0 og 1, vanligvis mellom 0,8 og 0,99. (a-1) eller a kalles noen ganger 8220smoothing constant8221. For systemer med et fast tidssteg T mellom prøver blir konstanten 8220a8221 beregnet og lagret for enkelhets skyld bare når applikasjonsutvikleren spesifiserer en ny verdi av ønsket tidskonstant. For systemer med datasampling i uregelmessige intervaller, må den eksponensielle funksjonen ovenfor brukes med hvert trinn, hvor T er tiden siden forrige prøve. Filterutgangen blir vanligvis initialisert for å matche den første inngangen. Når tidskonstanten nærmer seg 0, går a til null, så det er ingen filtrering 8211 utgangen er lik den nye inngangen. Som tidskonsentrasjonen blir veldig stor, en tilnærming 1, slik at ny inngang nesten ignoreres 8211 veldig tung filtrering. Filter-ligningen ovenfor kan omarrangeres til følgende prediktor-korrigerende ekvivalent: Dette skjemaet gjør det mer tydelig at variabelestimatet (utgang av filteret) er forutsatt som uendret fra forrige estimat y (k-1) pluss en korreksjonsperiode basert på den uventede 8220innovation8221 - forskjellen mellom den nye inngangen x (k) og prediksjonen y (k-1). Dette skjemaet er også et resultat av å avlede det eksponensielle filteret som et enkelt spesielt tilfelle av et Kalman-filter. som er den optimale løsningen på et estimeringsproblem med et bestemt sett av antagelser. Trinnrespons En måte å visualisere driften av eksponensielt filter på er å plotte sitt svar over tid til en trinninngang. Det vil si, med utgangspunkt i filterinngang og - utgang ved 0, endres inngangsverdien plutselig til 1. De resulterende verdiene er plottet under: I det ovennevnte tegnet deles tiden med filtertidskonstanten tau slik at du lettere kan forutsi Resultatene for en hvilken som helst tidsperiode, for en hvilken som helst verdi av filtertidskonstanten. Etter en tid som er lik tidskonstanten, øker filterutgangen til 63,21 av den endelige verdien. Etter en tid lik 2 tidskonstanter, øker verdien til 86,47 av sin endelige verdi. Utgangene etter tidene lik 3,4 og 5 tidskonstanter er henholdsvis 95,02, 98,17 og 99,33 av sluttverdien. Siden filteret er lineært betyr dette at disse prosentene kan brukes til hvilken som helst størrelsesorden av trinnendringen, ikke bare for verdien av 1 som brukes her. Selv om trinnresponsen i teorien tar en uendelig tid, tenker det fra det praktiske synspunkt på det eksponensielle filteret som 98 til 99 8220done8221 som svarer etter en tid lik 4 til 5 filtertidskonstanter. Variasjoner på det eksponensielle filteret Det er en variasjon av det eksponensielle filteret som kalles et 8220 ikke-lineært eksponensielt filter8221 Weber, 1980. ment å sterkt filtrere støy innenfor en bestemt 8220typical8221 amplitude, men deretter reagere raskere på større endringer. Copyright 2010 - 2013, Greg Stanley Del denne siden: Signal ProcessingDigital Filters Digitale filtre er av essensielle samplede systemer. Inngangs - og utgangssignalene er representert ved prøver med like tidsavstand. Finite Implulse Response (FIR) filtre kjennetegnes av et tidsrespons avhengig bare av et gitt antall av de siste prøvene på inngangssignalet. Med andre ord: Når inngangssignalet har falt til null, vil filterutgangen gjøre det samme etter et gitt antall prøvetakingsperioder. Utgangen y (k) er gitt ved en lineær kombinasjon av de siste inngangsprøver x (k i). Koeffisientene b (i) gir vekten for kombinasjonen. De korresponderer også med koeffisientene til telleren i z-domene-filteroverføringsfunksjonen. Følgende figur viser et FIR-filter i rekkefølge N 1: For lineære fasefiltre er koeffisientverdiene symmetriske rundt midten og forsinkelseslinjen kan foldes tilbake rundt dette midtpunktet for å redusere antall multiplikasjoner. Overføringsfunksjonen til FIR-filtre pocesses bare en teller. Dette tilsvarer et null-filter. FIR-filtre krever vanligvis høye ordrer, i størrelsesorden flere hundre. Dermed vil valget av denne typen filtre trenge en stor mengde maskinvare eller CPU. Til tross for dette er en grunn til å velge en FIR-filterimplementering muligheten til å oppnå en lineær fase respons, noe som kan være et krav i noen tilfeller. Likevel har fiter-designeren muligheten til å velge IIR-filtre med en god fase linearitet i passbåndet, for eksempel Bessel-filtre. eller å designe et all-pass filter for å korrigere fase respons av et standard IIR filter. Flytte gjennomsnittlige filtre (MA) Rediger Moving Average (MA) - modeller er prosessmodeller i skjemaet: MA-prosesser er en alternativ representasjon av FIR-filtre. Gjennomsnittlige filtre Rediger Et filter som beregner gjennomsnittet av de N siste prøvene av et signal Det er den enkleste formen av et FIR-filter, med alle koeffisientene like. Overføringsfunksjonen til et gjennomsnittlig filter er gitt ved: Overføringsfunksjonen til et gjennomsnittlig filter har N like fordelte nuller langs frekvensaksen. Imidlertid maskeres nullen ved DC ved hjelp av polen på filteret. Derfor er det en større lobe en likestrøm som står for filterpassbåndet. Cascaded Integrator-Comb (CIC) Filtre Rediger Et Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC) er en spesiell teknikk for implementering av gjennomsnittlige filtre i serie. Serieplasseringen av de gjennomsnittlige filtre øker den første loben i DC sammenlignet med alle andre lober. Et CIC-filter implementerer overføringsfunksjonen til N gjennomsnittlige filtre, som hver beregner gjennomsnittet av R M prøver. Dens overføringsfunksjon er således gitt av: CIC-filtre brukes til å dekimere antall prøver av et signal med en faktor R eller, i andre termer, å resample et signal ved lavere frekvens, kaste bort R 1 prøver ut av R. Faktoren M indikerer hvor mye av den første loben som brukes av signalet. Antallet av gjennomsnittlige filterstrinn, N. indikerer hvor godt andre frekvensbånd er dempet, på bekostning av en mindre flat overføringsfunksjon rundt DC. CIC-strukturen tillater å implementere hele systemet med bare adders og registre, uten å bruke noen multiplikatorer som er grådige når det gjelder maskinvare. Downsampling med en faktor R tillater å øke signaloppløsningen med log 2 (R) (R) biter. Kanoniske filtre Rediger kanoniske filtre implementere en filteroverføringsfunksjon med et antall forsinkelseselementer som tilsvarer filterbestillingen, en multiplikator per teller koeffisient, en multiplikator per nevner koeffisient og en rekke adders. På samme måte som aktive filtre kanoniske strukturer, viste denne typen kretser seg å være svært følsomme for elementverdier: En liten endring i koeffisienter hadde stor effekt på overføringsfunksjonen. Også her har utformingen av aktive filtre skiftet fra kanoniske filtre til andre strukturer som kjeder av andre ordens seksjoner eller hoppfiltre. Kjede av andre ordens seksjoner Rediger en andre ordre seksjon. ofte referert til som biquad. implementerer en andre ordreoverføringsfunksjon. Overføringsfunksjonen til et filter kan deles inn i et produkt av overføringsfunksjoner som hver er knyttet til et par poler og muligens et par nuller. Hvis overføringsfunksjonen er merkelig, må en førstegangsdel legges til kjeden. Denne delen er knyttet til den virkelige polen og til den reelle null hvis det er en. direkte form 1 direkteformet 2 direkteformet 1 transponert direkteformet 2 transponert Den direkte form 2 transponert av den følgende figur er spesielt interessant når det gjelder nødvendig maskinvare samt signal - og koeffisientkvantisering. Digital Leapfrog Filters Rediger Filter Struktur Redigere Digital Leapfrog filtre base på simuleringen av analoge aktive Leapfrog filtre. Incitamentet til dette valget er å arve fra de gode passeboksfølsomhetsegenskapene til den opprinnelige stigenkretsen. Følgende fjerde rekkefølge allpolet lowpass leapfrog filter kan implementeres som en digital krets ved å erstatte analoge integratorer med akkumulatorer. Bytte de analoge integratorene med akkumulatorer tilsvarer å forenkle Z-transformasjonen til z 1 s T. hvilke er de to første betingelsene i Taylor-serien av z e x p (s T). Denne tilnærmingen er god nok for filtre hvor samplingsfrekvensen er mye høyere enn signalbåndbredden. Overføringsfunksjon Redigere Statens plassrepresentasjon av den foregående filtre kan skrives som: Fra denne ligningssett kan man skrive A, B, C, D matriser som: Fra denne representasjonen tillater signalbehandlingsverktøy som Octave eller Matlab å plotte filterfrekvensresponsen eller å undersøke dens nuller og poler. I det digitale hoppetekstfilteret angir koeffisientens relative verdier formen av overføringsfunksjonen (Butterworth. Chebyshev.), Mens deres amplituder angir cutofffrekvensen. Ved å dele alle koeffisientene med en faktor to, skifter cutoff-frekvensen ned med en oktav (også en faktor på to). Et spesielt tilfelle er Buterworth 3-dørs-filteret, som har tidskonstanter med relative verdier på 1, 12 og 1. På grunn av dette kan dette filteret implementeres i maskinvare uten noen multiplikator, men bruker skift i stedet. Autoregressive filtre (AR) Rediger Autoregressive (AR) modeller er prosessmodeller i skjemaet: Hvor u (n) er utdataene fra modellen, er x (n) inngangen til modellen, og u (n - m) er tidligere eksempler på modellutgangsverdien. Disse filtrene kalles autoregressive fordi utdaterværdier beregnes basert på regressjoner av tidligere utdaterværdier. AR-prosesser kan representeres av et allpolet filter. ARMA-filtre Rediger Autoregressive Moving-Average (ARMA) - filtre er kombinasjoner av AR - og MA-filtre. Filterets utgang er gitt som en lineær kombinasjon av både vektede inngangs - og vektede utgangsprøver: ARMA-prosesser kan betraktes som et digitalt IIR-filter, med både poler og nuller. AR-filtre er foretrukket i mange tilfeller fordi de kan analyseres ved hjelp av Yule-Walker-ligningene. MA og ARMA prosesser, derimot, kan analyseres ved kompliserte, ikke-lineære ligninger som er vanskelige å studere og modellere. Hvis vi har en AR-prosess med trykkvektskoeffisienter a (en vektor av a (n), a (n - 1).) En inngang på x (n). og en utgang av y (n). vi kan bruke yule-walker-ligningene. Vi sier at x 2 er variansen til inngangssignalet. Vi behandler inngangsdata-signalet som et tilfeldig signal, selv om det er et deterministisk signal, fordi vi ikke vet hva verdien vil være før vi mottar den. Vi kan uttrykke Yule-Walker-ligningene som: Hvor R er krysskorrelasjonsmatrisen til prosessutgangen Og r er autokorrelasjonsmatrisen til prosessutgangen: Varians Edit Vi kan vise at: Vi kan uttrykke inngangssignalvarianen som: Eller , utvide og erstatte for r (0). Vi kan forholde oss til produksjonsvariasjonen av prosessen til inngangsvariansen: 2.1 Flytte gjennomsnittlige modeller (MA modeller) Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan omfatte autoregressive termer og eller flytte gjennomsnittlige termer. I uke 1 lærte vi et autoregressivt uttrykk i en tidsseriemodell for variabelen x t er en forsinket verdi på x t. For eksempel er et lag 1 autoregressivt uttrykk x t-1 (multiplisert med en koeffisient). Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige vilkår. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en tidligere feil (multiplisert med en koeffisient). La (wt overset N (0, sigma2w)), noe som betyr at w t er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normalfordeling med gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den første ordre-flytende gjennomsnittsmodellen, betegnet med MA (1), er (xt mu wt theta1w) Den andre ordens bevegelige gjennomsnittsmodellen, betegnet med MA (2), er (xt mu wt theta1w theta2w) , betegnet med MA (q) er (xt mu wt theta1w theta2w punkter thetaqw) Merknad. Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og (unsquared) termer i formler for ACFer og avvik. Du må sjekke programvaren for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell. R bruker positive tegn i sin underliggende modell, som vi gjør her. Teoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA (1) modell Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1. Alle andre autokorrelasjoner er 0. Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA (1) modell. For interesserte studenter er bevis på disse egenskapene et vedlegg til denne utdelingen. Eksempel 1 Anta at en MA (1) modell er x t10 w t .7 w t-1. hvor (wt overset N (0,1)). Dermed er koeffisienten 1 0,7. Den teoretiske ACF er gitt av Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA (1) med 1 0,7. I praksis vil en prøve vanligvis ikke gi et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 prøveverdier ved hjelp av modellen x t 10 w t .7 w t-1 hvor w t iid N (0,1). For denne simuleringen følger en tidsserie-plott av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for de simulerte dataene følger. Vi ser en spike i lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags forbi 1. Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA (1), som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 . En annen prøve ville ha en litt annen prøve-ACF vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Terapeutiske egenskaper av en tidsserie med en MA (2) modell For MA (2) modellen er teoretiske egenskaper følgende: Merk at de eneste ikke-nullverdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2. Autokorrelasjoner for høyere lags er 0 . En ACF med signifikant autokorrelasjoner på lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA (2) modell. iid N (0,1). Koeffisientene er 1 0,5 og 2 0,3. Fordi dette er en MA (2), vil den teoretiske ACF bare ha null nullverdier ved lags 1 og 2. Verdier av de to ikke-null-autokorrelasjonene er Et plot av teoretisk ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedataene ikke oppføre seg så perfekt som teori. Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. hvor det er N (0,1). Tidsserien av dataene følger. Som med tidsserien for MA (1) eksempeldata, kan du ikke fortelle mye om det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger. Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA (2) modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke-signifikante verdier for andre lags. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil, samsvarte ACF ikke nøyaktig det teoretiske mønsteret. ACF for General MA (q) Modeller En egenskap av MA (q) - modeller generelt er at det finnes ikke-null autokorrelasjoner for de første q lagene og autokorrelasjonene 0 for alle lagene gt q. Ikke-entydighet av sammenhengen mellom verdier av 1 og (rho1) i MA (1) Modell. I MA (1) - modellen, for en verdi på 1. Den gjensidige 1 1 gir samme verdi. For eksempel, bruk 0,5 for 1. og bruk deretter 1 (0,5) 2 for 1. Du får (rho1) 0,4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning kalt invertibility. vi begrenser MA (1) - modeller for å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1. I eksemplet som er gitt, vil 1 0,5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 10,5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvergering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 da vi beveger oss tilbake i tid. Invertibility er en begrensning programmert i tidsserier programvare som brukes til å estimere koeffisientene av modeller med MA termer. Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere opplysninger om inverterbarhetsbegrensningen for MA (1) - modeller er gitt i vedlegget. Avansert teorienotat. For en MA (q) modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell. Den nødvendige betingelsen for invertibilitet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y-. - q y q 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R-kode for eksemplene I eksempel 1, plotte vi den teoretiske ACF av modellen x t10 w t. 7w t-1. og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte dataene. R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 lag av ACF for MA (1) med theta1 0,7 lags0: 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10. plot (lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typh, main ACF for MA (1) med theta1 0,7) abline (h0) legger til en horisontal akse på plottet. Den første kommandoen bestemmer ACF og lagrer den i en gjenstand kalt acfma1 (vårt valg av navn). Plot-kommandoen (den tredje kommandoen) plots lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10. ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og tomtene ble gjort med følgende kommandoer. xcarima. sim (n150, liste (mac (0.7))) Simulerer n 150 verdier fra MA (1) xxc10 legger til 10 for å gjøre gjennomsnitt 10. Simuleringsstandarder betyr 0. Plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF for simulerte prøvedata) I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte dataene. R-kommandoene som ble brukt var acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, hoved ACF for MA (2) med theta1 0,5, theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, liste (mac (0,5, 0,3)) xxc10 plot (x, typeb, hoved Simulert MA (2) Serie) acf (x, xlimc (1,10) mainACF for simulert MA (2) Data) Vedlegg: Bevis på egenskaper av MA (1) For interesserte studenter, her er bevis for teoretiske egenskaper av MA (1) modellen. Varians: (tekst (xt) tekst (mu wt theta1 w) 0 tekst (wt) tekst (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Når h 1, er det forrige uttrykket 1 w 2. For ethvert h 2, . Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av wt. E (w k w j) 0 for noen k j. Videre, fordi w t har middelverdien 0, E (w jw j) E (w j 2) w 2. For en tidsserie, Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tiden. Vel demonstrere invertibility for MA (1) modellen. Vi erstatter deretter forholdet (2) for w t-1 i ligning (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-tet2w) Ved tid t-2. (2) blir vi da erstatter forholdet (4) for w t-2 i ligning (3) (zt wt theta1z-teteta21wt theta1z-teteta21 (z-theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Hvis vi skulle fortsette uendelig), ville vi få den uendelige rekkefølgen AR-modellen (zt wt theta1z - theta21z theta31z - theta41z prikker) Merk imidlertid at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke (uendelig) i størrelse når vi beveger oss tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 lt1. Dette er betingelsen for en inverterbar MA (1) modell. Uendelig Order MA-modell I uke 3 ser du at en AR (1) - modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell: (xt - mu wt phi1w phi21w prikker phik1 w dots sum phij1w) Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som årsakssammenheng av en AR (1). Med andre ord, x t er en spesiell type MA med et uendelig antall vilkår som går tilbake i tid. Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA (). En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig rekkefølge AR er en uendelig rekkefølge MA. Tilbakekall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR (1) er at 1 lt1. Lar beregne Var (x t) ved hjelp av årsakssammensetningen. Dette siste trinnet bruker et grunnfakta om geometrisk serie som krever (phi1lt1) ellers ser serien ut. Navigasjon